Упр.21.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите область определения функции:
   а) $$y=\arcsin x+\arctg x$$;
   б) $$y=\arcctg\sqrt{x}+\arccos\frac{x}{2}$$;
   в) $$y=\arctg\frac{1}{x}-\arccos(2x-0{,}5)$$;
   г) $$y=\arcsin(x^2-1)+\arctg 2x+\arcctg(x-1)$$.

Для суммы функций область определения находится как пересечение областей определения слагаемых.

а)

$$y=\arcsin x+\arctg x$$

$$-1\le x\le 1$$

$$x\in \mathbb{R}$$

Следовательно,

$$D(y)=[-1;1].$$

б)

$$y=\arcctg \sqrt{x}+\arccos \frac{x}{2}$$

$$\sqrt{x}\ \text{имеет смысл при}\ x\ge 0$$

$$-1\le \frac{x}{2}\le 1$$

$$-2\le x\le 2$$

Пересекаем условия:

$$x\in [0;2].$$

в)

$$y=\arctg \frac{1}{x}-\arccos(2x-0{,}5)$$

$$x\ne 0$$

$$-1\le 2x-0{,}5\le 1$$

$$-\frac12\le 2x\le \frac32$$

$$-\frac14\le x\le \frac34$$

С учётом условия $$x\ne 0$$ получаем:

$$D(y)=\left[-\frac14;0\right)\cup\left(0;\frac34\right].$$

г)

$$y=\arcsin(x^2-1)+\arctg 2x+\arcctg(x-1)$$

$$-1\le x^2-1\le 1$$

$$0\le x^2\le 2$$

$$-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}$$

Аргументы $$2x$$ и $$x-1$$ могут принимать любые действительные значения, дополнительных ограничений нет.

Значит,

$$D(y)=[-\sqrt{2};\sqrt{2}].$$

Ответ

а) $$[-1;1]$$; б) $$[0;2]$$; в) $$\left[-\frac14;0\right)\cup\left(0;\frac34\right]$$; г) $$[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$$.