Упр.21.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Вычислите:

1. $$2\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arctg(-1)+\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
2. $$3\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)+4\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$
3. $$\arctg(-\sqrt{3})+\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arcsin 1$$
4. $$\arcsin(-1)-\frac{3}{2}\arccos\frac{1}{2}+3\arcctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$

Используем значения обратных тригонометрических функций:

$$\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3},\quad \arctg(-1)=-\frac{\pi}{4},\quad \arccos\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4}.$$

Тогда

$$2\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arctg(-1)+\arccos\frac{\sqrt2}{2}=-2\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=-\frac{2\pi}{3}.$$

$$\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6},\quad \arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{3\pi}{4},\quad \arctg\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)=-\frac{\pi}{6}.$$

Тогда

$$3\arcsin\frac12+4\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)-\arctg\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)=3\cdot\frac{\pi}{6}+4\cdot\frac{3\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{11\pi}{3}.$$

$$\arctg(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3},\quad \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{5\pi}{6},\quad \arcsin 1=\frac{\pi}{2}.$$

Тогда

$$\arctg(-\sqrt3)+\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arcsin 1=-\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\pi.$$

$$\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2},\quad \arccos\frac12=\frac{\pi}{3},\quad \arcctg\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}.$$

Тогда

$$\arcsin(-1)-\frac{3}{2}\arccos\frac12+3\arcctg\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)=-\frac{\pi}{2}-\frac{3}{2}\cdot\frac{\pi}{3}+3\cdot\frac{2\pi}{3}=\pi.$$

Ответ

а) $$-\frac{2\pi}{3}$$; б) $$\frac{11\pi}{3}$$; в) $$\pi$$; г) $$\pi$$.