Упр.21.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Вычислите:

а) $$\operatorname{arctg}(-1)+\operatorname{arctg}(-1)$$

б) $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$$

в) $$\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)-\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$

г) $$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)-\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$$

Используем значения обратных тригонометрических функций:

$$\arctg 1=\frac{\pi}{4},\quad \arctg \sqrt{3}=\frac{\pi}{3},\quad \arctg \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6},\quad \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4},\quad \arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}.$$

1. $$\arctg(-1)+\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}.$$

2. $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\arctg(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}=-\frac{7\pi}{12}.$$

3. $$\arcctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)-\arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\left(\pi-\arctg\frac{\sqrt{3}}{3}\right)-\arctg\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   $$=\pi-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}.$$

4. $$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)-\arcctg(-\sqrt{3})=\frac{2\pi}{3}-\left(\pi-\arcctg\sqrt{3}\right)$$

   $$=\frac{2\pi}{3}-\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\pi}{6}.$$

Ответ: а) $$-\frac{\pi}{2}$$; б) $$-\frac{7\pi}{12}$$; в) $$\frac{2\pi}{3}$$; г) $$-\frac{\pi}{6}$$.