Упр.21.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите область определения функции:

а) $$y=\arcsin x$$;

б) $$y=\arcsin(5-2x)$$;

в) $$y=\arcsin\frac{x}{2}$$;

г) $$y=\arcsin(x^2-3)$$.

Для функции $$y=\arcsin t$$ область определения задаётся условием $$-1\le t\le 1.$$

1. $$y=\arcsin x$$

   Тогда $$-1\le x\le 1.$$

   Ответ: $$x\in[-1;1].$$

2. $$y=\arcsin(5-2x)$$

   Требуется:

   $$-1\le 5-2x\le 1.$$

   Решим двойное неравенство:

   $$-6\le -2x\le -4 \\\\ 4\le 2x\le 6 \\\\ 2\le x\le 3$$

   Ответ: $$x\in[2;3].$$

3. $$y=\arcsin\frac{x}{2}$$

   Тогда

   $$-1\le \frac{x}{2}\le 1 \\\\ -2\le x\le 2$$

   Ответ: $$x\in[-2;2].$$

4. $$y=\arcsin(x^2-3)$$

   Требуется:

   $$-1\le x^2-3\le 1.$$

   Получаем:

   $$2\le x^2\le 4$$

   Отсюда

   $$x^2\ge 2 \Rightarrow x\le -\sqrt2 \text{ или } x\ge \sqrt2,$$

   $$x^2\le 4 \Rightarrow -2\le x\le 2.$$

   Пересечение этих условий:

   $$x\in[-2;-\sqrt2]\cup[\sqrt2;2].$$

   Ответ: $$x\in[-2;-\sqrt2]\cup[\sqrt2;2].$$