Упр.21.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Постройте и прочитайте график функции:

а) $$y=\begin{cases}\pi, & x<-1,\\ \arccos x, & -1\leqslant x\leqslant 1,\\ \sqrt{x-1}, & x>1;\end{cases}$$

б) $$y=\begin{cases}\arccos x, & -1\leqslant x\leqslant 0{,}5,\\ \dfrac{\pi}{3}, & 0{,}5

а) Рассмотрим функцию

$$y=\begin{cases} \pi, & x<-1,\\ \arccos x, & -1\le x\le 1,\\ \sqrt{x-1}, & x>1. \end{cases}$$

Построим её по частям:

• при $$x<-1$$ график — горизонтальная прямая $$y=\pi$$;
• при $$-1\le x\le 1$$ график — ветвь функции $$y=\arccos x$$, проходящая через точки $$(-1,\pi)$$, $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$, $$\left(1,0\right)$$;
• при $$x>1$$ график — ветвь функции $$y=\sqrt{x-1}$$, начинающаяся в точке $$\left(1,0\right)$$.

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=[0;+\infty)$$;
• функция убывает на $$[-1;1]$$;
• функция возрастает на $$[1;+\infty)$$;
• функция постоянна на $$(-\infty;-1]$$;
• $$f(x)>0$$ на $$(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• функция не является периодической.

б) Рассмотрим функцию

$$y=\begin{cases} \arccos x, & -1\le x\le 0{,}5,\\ \frac{\pi}{3}, & 0{,}5<x\le \frac{\pi}{3},\\ x, & \frac{\pi}{3}<x\le 3. \end{cases}$$

Построим её по частям:

• при $$-1\le x\le 0{,}5$$ график — часть кривой $$y=\arccos x$$;
• при $$0{,}5<x\le \frac{\pi}{3}$$ график — горизонтальный отрезок $$y=\frac{\pi}{3}$$;
• при $$\frac{\pi}{3}<x\le 3$$ график — отрезок прямой $$y=x$$.

Свойства функции:

• $$D(f)=[-1;3]$$;
• $$E(f)=\left[\frac{\pi}{3};\pi\right]$$;
• функция убывает на $$[-1;0{,}5]$$;
• функция постоянна на $$\left[0{,}5;\frac{\pi}{3}\right]$$;
• функция возрастает на $$\left[\frac{\pi}{3};3\right]$$;
• $$f(x)>0$$ на $$[-1;3]$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• функция не является периодической.

Ответ: графики функций построены; свойства указаны выше.