Упр.21.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Постройте и прочитайте график функции:
а) $$y=\arccos 2x$$;
б) $$y=\arccos \frac{x}{2}-\frac{5\pi}{6}$$;
в) $$y=-\arccos \frac{x}{3}$$;
г) $$y=\arccos 2(x-1)-\frac{\pi}{2}$$.
Используем свойства графика функции $$y=\arccos x$$:
- область определения: $$x\in[-1;1]$$;
- область значений: $$y\in[0;\pi]$$;
- функция убывает на всей области определения.
а) $$y=\arccos 2x$$
Это график $$y=\arccos x$$, сжатый к оси $$Oy$$ в 2 раза.
Так как $$-1\le 2x\le 1$$, то
$$D(f)=\left[-\frac12;\frac12\right].$$
Значения функции не меняются:
$$E(f)=[0;\pi].$$
Функция убывает на $$\left[-\frac12;\frac12\right]$$.
б) $$y=\arccos \frac{x}{2}-\frac{5\pi}{6}$$
График $$y=\arccos x$$ растягиваем от оси $$Oy$$ в 2 раза, затем сдвигаем вниз на $$\frac{5\pi}{6}$$.
Из условия $$-1\le \frac{x}{2}\le 1$$ получаем
$$D(f)=[-2;2].$$
Так как $$\arccos \frac{x}{2}\in[0;\pi]$$, то после сдвига вниз
$$E(f)=\left[-\frac{5\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right].$$
Функция убывает на $$[-2;2]$$.
в) $$y=-\arccos \frac{x}{3}$$
График $$y=\arccos x$$ растягиваем от оси $$Oy$$ в 3 раза и отражаем относительно оси абсцисс.
Из условия $$-1\le \frac{x}{3}\le 1$$ получаем
$$D(f)=[-3;3].$$
Так как $$\arccos \frac{x}{3}\in[0;\pi]$$, то
$$E(f)=[-\pi;0].$$
После отражения возрастающая функция, значит $$y$$ возрастает на $$[-3;3]$$.
г) $$y=\arccos 2(x-1)-\frac{\pi}{2}$$
Сначала сжимаем график $$y=\arccos x$$ к оси $$Oy$$ в 2 раза, затем сдвигаем его на 1 единицу вправо и вниз на $$\frac{\pi}{2}$$.
Из условия $$-1\le 2(x-1)\le 1$$ получаем
$$\frac12\le x\le \frac32,$$
то есть
$$D(f)=\left[\frac12;\frac32\right].$$
Так как $$\arccos 2(x-1)\in[0;\pi]$$, то
$$E(f)=\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$
Функция убывает на $$\left[\frac12;\frac32\right]$$.
Ответ
$$\begin{aligned} &\text{а) } D(f)=\left[-\frac12;\frac12\right],\quad E(f)=[0;\pi],\quad f \text{ убывает};\\ &\text{б) } D(f)=[-2;2],\quad E(f)=\left[-\frac{5\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right],\quad f \text{ убывает};\\ &\text{в) } D(f)=[-3;3],\quad E(f)=[-\pi;0],\quad f \text{ возрастает};\\ &\text{г) } D(f)=\left[\frac12;\frac32\right],\quad E(f)=\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right],\quad f \text{ убывает}. \end{aligned}$$
