Упр.21.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Постройте и прочитайте график функции:

• а) $$y=-3\arccos x$$; б) $$y=\frac{3\pi}{4}-\arccos x$$; в) $$y=\frac{1}{2}\arccos x$$; г) $$y=\frac{2}{3}\arccos(x+1{,}5)$$.

Рассмотрим преобразования графика функции $$y=\arccos x.$$

1. $$y=-3\arccos x$$

   График $$y=\arccos x$$ отражаем относительно оси $$Ox$$, затем растягиваем от оси $$Ox$$ в $$3$$ раза.

   Так как $$\arccos x$$ определена при $$x\in[-1;1]$$ и принимает значения из $$[0;\pi]$$, то для новой функции:

   $$D(f)=[-1;1], \qquad E(f)=[-3\pi;0].$$

   Функция убывает на $$[-1;1]$$, причём $$f(x)\le 0$$.

2. $$y=\dfrac{3\pi}{4}-\arccos x$$

   График $$y=\arccos x$$ отражаем относительно оси $$Ox$$ и затем переносим вверх на $$\dfrac{3\pi}{4}$$.

   Область определения не меняется:

   $$D(f)=[-1;1].$$

   Так как $$\arccos x\in[0;\pi]$$, то

   $$E(f)=\left[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right].$$

   Функция возрастает на $$[-1;1]$$.

3. $$y=\dfrac12\arccos x$$

   График $$y=\arccos x$$ сжимаем к оси $$Ox$$ в $$2$$ раза.

   Тогда

   $$D(f)=[-1;1], \qquad E(f)=\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right].$$

   Функция убывает на $$[-1;1]$$ и принимает только неотрицательные значения.

4. $$y=\dfrac23\arccos(x+1{,}5)$$

   Сначала график $$y=\arccos x$$ сдвигаем на $$1{,}5$$ единицы влево, затем сжимаем к оси $$Ox$$ в $$\dfrac32$$ раза.

   Для области определения нужно, чтобы

   $$-1\le x+1{,}5\le 1,$$

   откуда

   $$-2{,}5\le x\le -0{,}5.$$

   Значит,

   $$D(f)=\left[-2{,}5;-0{,}5\right], \qquad E(f)=\left[0;\dfrac{2\pi}{3}\right].$$

   Функция убывает на $$\left[-2{,}5;-0{,}5\right]$$.

Ответ:

а) $$D(f)=[-1;1],\ E(f)=[-3\pi;0]$$;
б) $$D(f)=[-1;1],\ E(f)=\left[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right]$$;
в) $$D(f)=[-1;1],\ E(f)=\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$$;
г) $$D(f)=\left[-2{,}5;-0{,}5\right],\ E(f)=\left[0;\dfrac{2\pi}{3}\right]$$.