Упр.21.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Постройте и прочитайте график функции:

а) $$y=\arccos(x-1)-\frac{\pi}{2}$$;

б) $$y=\arccos(x+2)+\frac{\pi}{3}$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=\arccos(x-1)-\frac{\pi}{2}.$$

График функции $$y=\arccos x$$ сдвигаем на $$1$$ единицу вправо и на $$\frac{\pi}{2}$$ единицы вниз.

Так как для функции $$y=\arccos x$$ область определения $$[-1;1]$$, то для данной функции

$$x-1\in[-1;1],$$

откуда

$$x\in[0;2].$$

Следовательно, $$D(f)=[0;2].$$

Значения функции $$\arccos x$$ лежат в промежутке $$[0;\pi]$$, значит после сдвига вниз на $$\frac{\pi}{2}$$ получаем

$$E(f)=\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

Функция убывает на всей области определения. Кроме того,

$$f(1)=\arccos 0-\frac{\pi}{2}=0,$$

поэтому

$$f(x)>0 \text{ при } x\in[0;1), \qquad f(x)<0 \text{ при } x\in(1;2].$$

Функция ни чётная, ни нечётная.

б) Рассмотрим функцию $$y=\arccos(x+2)+\frac{\pi}{3}.$$

График функции $$y=\arccos x$$ сдвигаем на $$2$$ единицы влево и на $$\frac{\pi}{3}$$ единицы вверх.

Из условия существования арккосинуса:

$$x+2\in[-1;1],$$

откуда

$$x\in[-3;-1].$$

Следовательно, $$D(f)=[-3;-1].$$

Так как $$\arccos x\in[0;\pi],$$ то

$$E(f)=\left[\frac{\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\right].$$

Функция убывает на всей области определения. Кроме того,

$$f(-2)=\arccos 0+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6},$$

а нуль функции находится из уравнения

$$\arccos(x+2)+\frac{\pi}{3}=0,$$

которое не имеет решений, так как $$\arccos(x+2)\ge 0$$ и $$\frac{\pi}{3}>0.$$

Значит, $$f(x)>0$$ на всей области определения. Функция ни чётная, ни нечётная.

Ответ

а) $$D(f)=[0;2], \quad E(f)=\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$; функция убывает, $$f(x)>0$$ при $$x\in[0;1),$$ $$f(x)<0$$ при $$x\in(1;2]$$.

б) $$D(f)=[-3;-1], \quad E(f)=\left[\frac{\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\right]$$; функция убывает, $$f(x)>0$$ на $$[-3;-1]$$.