Упр.21.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите область значений функции:

• а) $$y=2\arccos x$$;
• б) $$y=1{,}5\arccos x-\frac{\pi}{2}$$;
• в) $$y=-\frac{1}{2}\arccos x$$;
• г) $$y=\pi-2\arccos x$$.

Так как $$0 \le \arccos x \le \pi,$$ найдём область значений каждой функции по преобразованию этого промежутка.

1. $$y=2\arccos x.$$

   Умножим неравенство $$0 \le \arccos x \le \pi$$ на $$2$$:

   $$0 \le 2\arccos x \le 2\pi.$$

   Значит, $$y \in [0;2\pi].$$

2. $$y=1{,}5\arccos x-\frac{\pi}{2}.$$

   Умножим неравенство $$0 \le \arccos x \le \pi$$ на $$1{,}5$$:

   $$0 \le 1{,}5\arccos x \le \frac{3\pi}{2}.$$

   Вычтем $$\frac{\pi}{2}$$:

   $$-\frac{\pi}{2} \le 1{,}5\arccos x-\frac{\pi}{2} \le \pi.$$

   Следовательно, $$y \in \left[-\frac{\pi}{2};\pi\right].$$

3. $$y=-\frac{1}{2}\arccos x.$$

   Из $$0 \le \arccos x \le \pi$$ получаем после умножения на $$-\frac{1}{2}$$ с изменением знаков неравенств:

   $$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{1}{2}\arccos x \le 0.$$

   Значит, $$y \in \left[-\frac{\pi}{2};0\right].$$

4. $$y=\pi-2\arccos x.$$

   Умножим неравенство $$0 \le \arccos x \le \pi$$ на $$2$$:

   $$0 \le 2\arccos x \le 2\pi.$$

   Тогда

   $$-\pi \le \pi-2\arccos x \le \pi.$$

   Следовательно, $$y \in [-\pi;\pi].$$

Ответ: а) $$[0;2\pi]$$; б) $$\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$$; в) $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$; г) $$[-\pi;\pi]$$.