Упр.21.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Вычислите:
- а) $$\sin\left(2\arcsin\frac{1}{2}-3\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$
б) $$\cos\left(\frac{1}{2}\arcsin x+\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$$
в) $$\tg\left(\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}+2\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
г) $$\ctg\left(3\arccos(-1)-\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$
а) $$\sin\!\left(2\arcsin\frac12-3\arccos\left(-\frac12\right)\right)=\sin\!\left(2\cdot\frac{\pi}{6}-3\cdot\frac{2\pi}{3}\right)$$
$$=\sin\!\left(\frac{\pi}{3}-2\pi\right)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
б) $$\cos\!\left(\frac12\arcsin 1+\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\right)=\cos\!\left(\frac12\cdot\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$$
$$=\cos 0=1.$$
в) $$\tg\!\left(\arcsin\frac{\sqrt3}{2}+2\arccos\frac{\sqrt2}{2}\right)=\tg\!\left(\frac{\pi}{3}+2\cdot\frac{\pi}{4}\right)$$
$$=\tg\!\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}\right)=\tg\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}.$$
г) $$\ctg\!\left(3\arccos(-1)-\arcsin\left(-\frac12\right)\right)=\ctg\!\left(3\pi- \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$$
$$=\ctg\!\left(3\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\ctg\frac{\pi}{6}=\sqrt3.$$
Ответ: а) $$\frac{\sqrt3}{2}$$; б) $$1$$; в) $$-\frac{\sqrt3}{3}$$; г) $$\sqrt3$$.
