Упр.21.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Вычислите:

1. $$\cos\left(2\arccos\frac{1}{2}+3\arccos 0-\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$
2. $$\frac{1}{3}\arccos\frac{1}{3}+\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Используем значения обратных тригонометрических функций:

$$\arccos \frac12=\frac{\pi}{3}, \qquad \arccos 0=\frac{\pi}{2}, \qquad \arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}.$$

а)

$$\cos\left(2\arccos\frac12-3\arccos 0-\arccos\left(-\frac12\right)\right)=\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{3}-3\cdot\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}\right).$$

$$\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\frac{3\pi}{2}=0.$$

б)

$$\frac13\left(\arccos\frac13+\arccos\left(-\frac13\right)\right).$$

Так как $$\arccos(-x)=\pi-\arccos x,$$ то

$$\arccos\frac13+\arccos\left(-\frac13\right)=\arccos\frac13+\pi-\arccos\frac13=\pi.$$

Следовательно,

$$\frac13\cdot\pi=\frac{\pi}{3}.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$\frac{\pi}{3}$$.