Упр.21.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вычислите:
   а) $$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)+\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$$
   б) $$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\arcsin(-1)$$
   в) $$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
   г) $$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Используем значения обратных тригонометрических функций:

$$\arccos\left(-x\right)=\pi-\arccos x,\qquad \arcsin(-x)=-\arcsin x.$$

1. $$\arccos\left(-\frac12\right)+\arcsin\left(-\frac12\right)=\pi-\arccos\frac12-\arcsin\frac12.$$

   Так как $$\arccos\frac12=\frac{\pi}{3},\qquad \arcsin\frac12=\frac{\pi}{6},$$ то

   $$\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\pi-\frac{2\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{6}=\frac{\pi}{2}.$$

2. $$\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)-\arcsin(-1)=\pi-\arccos\frac{\sqrt2}{2}+\arcsin 1.$$

   Так как $$\arccos\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4},\qquad \arcsin 1=\frac{\pi}{2},$$ то

   $$\pi-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\frac{4\pi}{4}-\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.$$

3. $$\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\pi-\arccos\frac{\sqrt3}{2}-\arcsin\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Так как $$\arccos\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{6},\qquad \arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3},$$ то

   $$\pi-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi}{6}=\frac{3\pi}{6}=\frac{\pi}{2}.$$

4. $$\arccos\frac{\sqrt2}{2}-\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\arccos\frac{\sqrt2}{2}+\arcsin\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Так как $$\arccos\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4},\qquad \arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3},$$ то

   $$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi}{12}+\frac{4\pi}{12}=\frac{7\pi}{12}.$$

Ответ: а) $$\frac{\pi}{2}$$; б) $$\frac{5\pi}{4}$$; в) $$\frac{\pi}{2}$$; г) $$\frac{7\pi}{12}$$.