Упр.21.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Постройте и прочитайте график функции:
- а) $$y=\begin{cases}\frac{\pi x}{2}, & x<-1,\\ \arcsin x, & -1\leqslant x\leqslant 1,\\ \frac{\pi}{2}, & x>1;\end{cases}$$
б) $$y=\begin{cases}\arcsin x, & -1\leqslant x\leqslant 0,\\ -\arcsin x, & 0
а) Рассмотрим функцию по частям:
$$y= \begin{cases} \dfrac{\pi x}{2}, & x<-1,\\ \arcsin x, & -1\le x\le 1,\\ \dfrac{\pi}{2}, & x>1. \end{cases}$$
1) При $$x<-1$$ график — прямая $$y=\dfrac{\pi x}{2}$$. Для построения удобно взять точки:
$$x=-2 \Rightarrow y=-\pi,\qquad x=-1 \Rightarrow y=-\dfrac{\pi}{2}.$$
2) При $$-1\le x\le 1$$ график — ветвь функции $$y=\arcsin x$$, проходящая через точки
$$(-1,-\dfrac{\pi}{2}),\quad (0,0),\quad (1,\dfrac{\pi}{2}).$$
3) При $$x>1$$ график — горизонтальная прямая $$y=\dfrac{\pi}{2}$$.
Итак, график состоит из луча прямой, дуги графика $$y=\arcsin x$$ и горизонтального луча.
Свойства функции:
- $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
- $$E(f)=(-\infty;\dfrac{\pi}{2}]$$;
- функция возрастает на $$(-\infty;1]$$;
- функция постоянна на $$[1;+\infty)$$;
- $$f(x)>0$$ при $$x\in(0;+\infty)$$;
- $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;0)$$;
- функция ни чётная, ни нечётная;
- функция не является периодической.
б) Рассмотрим функцию
$$y= \begin{cases} \arcsin x, & -1\le x\le 0,\\ -\arcsin x, & 0<x\le 1,\\ (x-1)^2-\dfrac{\pi}{2}, & 1<x\le 3. \end{cases}$$
1) При $$-1\le x\le 0$$ строим график $$y=\arcsin x$$. Удобные точки:
$$(-1,-\dfrac{\pi}{2}),\quad (0,0).$$
2) При $$0<x\le 1$$ строим график $$y=-\arcsin x$$. Удобные точки:
$$(0,0),\quad (1,-\dfrac{\pi}{2}).$$
3) При $$1<x\le 3$$ строим параболу $$y=(x-1)^2-\dfrac{\pi}{2}$$. Её вершина:
$$x=1,\qquad y=-\dfrac{\pi}{2}.$$
Для построения можно взять точки:
$$x=1 \Rightarrow y=-\dfrac{\pi}{2},\qquad x=2 \Rightarrow y=1-\dfrac{\pi}{2},\qquad x=3 \Rightarrow y=4-\dfrac{\pi}{2}.$$
Свойства функции:
- $$D(f)=[-1;3]$$;
- $$E(f)=\left[-\dfrac{\pi}{2};\,4-\dfrac{\pi}{2}\right]$$;
- возрастает на $$[-1;0]\cup[1;3]$$;
- убывает на $$[0;1]$$;
- $$f(x)>0$$ при $$x\in\left(1+\sqrt{\dfrac{\pi}{2}};\,3\right]$$;
- $$f(x)<0$$ при $$x\in\left[-1;0\right)\cup\left(0;\,1+\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\right)$$;
- функция ни чётная, ни нечётная;
- функция не является периодической.
Ответ: графики построены; свойства функций указаны выше.
