Упр.21.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Постройте и прочитайте график функции:

а) $$y=\begin{cases}\frac{\pi x}{2}, & x<-1,\\ \arcsin x, & -1\leqslant x\leqslant 1,\\ \frac{\pi}{2}, & x>1;\end{cases}$$
б) $$y=\begin{cases}\arcsin x, & -1\leqslant x\leqslant 0,\\ -\arcsin x, & 0

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию по частям:

$$y= \begin{cases} \dfrac{\pi x}{2}, & x<-1,\\ \arcsin x, & -1\le x\le 1,\\ \dfrac{\pi}{2}, & x>1. \end{cases}$$

1) При $$x<-1$$ график — прямая $$y=\dfrac{\pi x}{2}$$. Для построения удобно взять точки:

$$x=-2 \Rightarrow y=-\pi,\qquad x=-1 \Rightarrow y=-\dfrac{\pi}{2}.$$

2) При $$-1\le x\le 1$$ график — ветвь функции $$y=\arcsin x$$, проходящая через точки

$$(-1,-\dfrac{\pi}{2}),\quad (0,0),\quad (1,\dfrac{\pi}{2}).$$

3) При $$x>1$$ график — горизонтальная прямая $$y=\dfrac{\pi}{2}$$.

Итак, график состоит из луча прямой, дуги графика $$y=\arcsin x$$ и горизонтального луча.

Свойства функции:

б) Рассмотрим функцию

$$y= \begin{cases} \arcsin x, & -1\le x\le 0,\\ -\arcsin x, & 0<x\le 1,\\ (x-1)^2-\dfrac{\pi}{2}, & 1<x\le 3. \end{cases}$$

1) При $$-1\le x\le 0$$ строим график $$y=\arcsin x$$. Удобные точки:

$$(-1,-\dfrac{\pi}{2}),\quad (0,0).$$

2) При $$0<x\le 1$$ строим график $$y=-\arcsin x$$. Удобные точки:

$$(0,0),\quad (1,-\dfrac{\pi}{2}).$$

3) При $$1<x\le 3$$ строим параболу $$y=(x-1)^2-\dfrac{\pi}{2}$$. Её вершина:

$$x=1,\qquad y=-\dfrac{\pi}{2}.$$

Для построения можно взять точки:

$$x=1 \Rightarrow y=-\dfrac{\pi}{2},\qquad x=2 \Rightarrow y=1-\dfrac{\pi}{2},\qquad x=3 \Rightarrow y=4-\dfrac{\pi}{2}.$$

Свойства функции:

$$D(f)=[-1;3]$$;
$$E(f)=\left[-\dfrac{\pi}{2};\,4-\dfrac{\pi}{2}\right]$$;
возрастает на $$[-1;0]\cup[1;3]$$;
убывает на $$[0;1]$$;
$$f(x)>0$$ при $$x\in\left(1+\sqrt{\dfrac{\pi}{2}};\,3\right]$$;
$$f(x)<0$$ при $$x\in\left[-1;0\right)\cup\left(0;\,1+\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\right)$$;
функция ни чётная, ни нечётная;
функция не является периодической.

Ответ: графики построены; свойства функций указаны выше.