Упр.20.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Определите знак разности:

а) $$\operatorname{tg} 200^\circ-\operatorname{tg} 201^\circ$$;
в) $$\operatorname{tg} 2{,}2-\operatorname{tg} 2{,}1$$;
б) $$\operatorname{tg} 1-\operatorname{tg} 1{,}01$$;
г) $$\operatorname{tg}\frac{3\pi}{5}-\operatorname{tg}\frac{6\pi}{5}$$.

Подробный ответ

Функция $$y=\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb{Z}.$$ Поэтому знак разности определяем по порядку аргументов.

$$200^\circ<201^\circ,$$ причём оба угла лежат в промежутке $$\left(90^\circ;270^\circ\right),$$ где функция $$y=\tg x$$ возрастает. Значит,
$$\tg 200^\circ<\tg 201^\circ,$$
следовательно,
$$\tg 200^\circ-\tg 201^\circ<0.$$
$$1<1{,}01,$$ и оба числа принадлежат промежутку $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$ Тогда
$$\tg 1<\tg 1{,}01,$$
значит,
$$\tg 1-\tg 1{,}01<0.$$
$$2{,}1<2{,}2,$$ причём
$$\frac{\pi}{2}<2{,}1<2{,}2<\frac{3\pi}{2}.$$
На этом промежутке функция $$y=\tg x$$ возрастает, поэтому
$$\tg 2{,}1<\tg 2{,}2,$$
следовательно,
$$\tg 2{,}2-\tg 2{,}1>0.$$
$$\frac{3\pi}{5}<\frac{6\pi}{5},$$ и оба угла лежат в промежутке $$\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right),$$ где $$\tg x$$ возрастает. Значит,
$$\tg \frac{3\pi}{5}<\tg \frac{6\pi}{5},$$
поэтому
$$\tg \frac{3\pi}{5}-\tg \frac{6\pi}{5}<0.$$