Упр.20.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Сколько целочисленных решений неравенства $$\frac{4-x}{x+5}\ge 0$$ удовлетворяют неравенству $$1+\operatorname{ctg}^2\frac{\pi x}{2}\ge 0$$?

б) Сколько целочисленных решений неравенства $$5x+36\ge x^2$$ удовлетворяют неравенству $$4x^2+1+\operatorname{tg}^2\frac{\pi x}{6}>4x$$?

а) Решим первое неравенство:

$$\frac{4-x}{x+5}\ge 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \frac{x-4}{x+5}\le 0.$$

Отсюда

$$-5<x\le 4.$$

Теперь решим второе неравенство:

$$1+\ctg^2\frac{\pi x}{2}\ge 0.$$

Так как $$\ctg^2\frac{\pi x}{2}\ge 0,$$ то неравенство выполняется при всех $$x,$$ для которых выражение определено:

$$\frac{\pi x}{2}\ne \pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

то есть

$$x\ne 2n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Из целых чисел промежутка $$-5<x\le 4$$ подходят только нечетные:

$$-3,\,-1,\,1,\,3.$$

Их 4.

б) Решим первое неравенство:

$$5x+36\ge x^2 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^2-5x-36\le 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-5x-36=(x-9)(x+4).$$

Тогда

$$-4\le x\le 9.$$

Решим второе неравенство:

$$4x^2+1+\tg^2\frac{\pi x}{6}>4x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$4x^2-4x+1+\tg^2\frac{\pi x}{6}>0.$$

Так как

$$4x^2-4x+1=(2x-1)^2,$$

то

$$\left(2x-1\right)^2+\tg^2\frac{\pi x}{6}>0.$$

Сумма двух неотрицательных слагаемых строго положительна, если оба они не равны нулю одновременно. Равенство нулю возможно только при

$$2x-1=0 \quad \text{и} \quad \tg\frac{\pi x}{6}=0.$$

Из первого получаем $$x=\frac12,$$ что не является целым числом. Значит, для целых $$x$$ второе неравенство выполняется всегда, когда оно определено.

Область определения:

$$\frac{\pi x}{6}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

то есть

$$x\ne 3+6n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

В промежутке $$-4\le x\le 9$$ целые числа, не кратные 3 с остатком 0 по модулю 6 в виде $$3+6n,$$ это:

$$-4,\,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9.$$

Их 13.

Ответ: а) 4; б) 13.