Упр.20.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите систему неравенств:

1. $$\operatorname{tg}x>0$$ и $$\sin x>-\frac{1}{2}$$
2. $$\operatorname{ctg}x<1$$ и $$\cos x>-\frac{\sqrt{3}}{3}$$
3. $$\operatorname{tg}x<\frac{\sqrt{3}}{3}$$ и $$\cos x<0$$
4. $$\operatorname{ctg}x>-\sqrt{3}$$ и $$\sin x<\frac{\sqrt{2}}{2}$$

а) $$\tg x>0$$ на промежутках

$$x\in\left(\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Кроме того,

$$\sin x>-\frac12$$

выполняется при

$$x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Пересекаем эти множества:

$$x\in\left(2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\ctg x<1$$ на промежутках

$$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\pi+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

А неравенство

$$\cos x>-\frac{\sqrt3}{2}$$

выполняется при

$$x\in\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\tg x<\frac{\sqrt3}{3}$$ на промежутках

$$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{6}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

И одновременно

$$\cos x<0$$

при

$$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\ctg x>-\sqrt3$$ на промежутках

$$x\in\left(\pi n;\frac{5\pi}{6}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

А неравенство

$$\sin x<\frac{\sqrt2}{2}$$

выполняется при

$$x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{9\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Пересечение даёт:

$$x\in\left(\pi n;\frac{\pi}{4}+\pi n\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left(2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x\in\left(\pi n;\frac{\pi}{4}+\pi n\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$