Упр.20.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство: а) $$\operatorname{tg}x \leq 1$$; в) $$\operatorname{tg}x > -\frac{\sqrt{3}}{3}$$; б) $$\operatorname{ctg}x > \sqrt{3}$$; г) $$\operatorname{ctg}x \leq -1$$.

Функция $$y=\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, поэтому неравенство $$\tg x\le 1$$ равносильно

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Функция $$y=\ctg x$$ убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n;\,\pi+\pi n\right)$$.

Тогда:

1. $$\ctg x>\sqrt3$$. Равенство $$\ctg x=\sqrt3$$ выполняется при $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$, значит
   $$\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$\tg x>-\frac{\sqrt3}{3}$$. Равенство $$\tg x=-\frac{\sqrt3}{3}$$ выполняется при $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$, значит
   $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3. $$\ctg x\le -1$$. Равенство $$\ctg x=-1$$ выполняется при $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n$$, значит
   $$\frac{3\pi}{4}+\pi n\le x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \frac{\pi}{4}+\pi n$$; б) $$\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n$$; в) $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n$$; г) $$\frac{3\pi}{4}+\pi n\le x<\pi+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.