Упр.20.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции:
   а) $$y=2\operatorname{tg}x\operatorname{ctg}x+|x|$$
   б) $$y=\operatorname{tg}x\operatorname{ctg}x+\sqrt{x}$$

а) $$y=2\tg x\cdot \ctg x+|x|.$$

Так как $$\tg x\cdot \ctg x=1$$ при тех значениях $$x$$, где обе функции определены, то

$$y=2+|x|.$$

Но нужно учесть область определения:

$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Значит, график функции $$y=2+|x|$$ нужно построить с выколотыми точками в тех значениях $$x$$, где выражение $$\tg x\cdot \ctg x$$ не определено.

Итак,

$$y= \begin{cases} 2+x, & x\ge 0,\\ 2-x, & x<0, \end{cases} \qquad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; x\ne \pi n.$$

б) $$y=\tg x\cdot \ctg x+\sqrt{x}.$$

Здесь также $$\tg x\cdot \ctg x=1$$, поэтому

$$y=1+\sqrt{x}.$$

Область определения:

$$x\ge 0,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Следовательно, график функции $$y=1+\sqrt{x}$$ строится на промежутке $$x\ge 0$$ с выколотыми точками в запрещённых значениях $$x$$.

Итак,

$$y=1+\sqrt{x},\qquad x\ge 0,\; x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; x\ne \pi n.$$

Ответ

а) $$y=2+|x|$$, $$x\ne \pi n,\; x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
б) $$y=1+\sqrt{x}$$, $$x\ge 0,\; x\ne \pi n,\; x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$