Упр.20.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Постройте график функции:

а) $$y=\operatorname{tg}x\lvert\operatorname{ctg}x\rvert$$;

б) $$y=\lvert\operatorname{tg}x\rvert\operatorname{ctg}x$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=\tg x\cdot|\ctg x|.$$

Если $$\ctg x\ge 0,$$ то $$|\ctg x|=\ctg x,$$ значит

$$y=\tg x\cdot \ctg x=1.$$

Если $$\ctg x<0,$$ то $$|\ctg x|=-\ctg x,$$ значит

$$y=\tg x\cdot(-\ctg x)=-1.$$

Область определения:

$$\tg x \text{ и } \ctg x \text{ определены при } x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; x\ne \pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Следовательно, график состоит из горизонтальных отрезков $$y=1$$ и $$y=-1$$ на промежутках области определения, разделённых точками разрыва $$x=\pi n$$ и $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Итак,

$$y= \begin{cases} 1, & \ctg x\ge 0,\\ -1, & \ctg x<0, \end{cases} \qquad x\ne \pi n,\; x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=|\tg x|\cdot \ctg x.$$

Если $$\tg x\ge 0,$$ то $$|\tg x|=\tg x,$$ значит

$$y=\tg x\cdot \ctg x=1.$$

Если $$\tg x<0,$$ то $$|\tg x|=-\tg x,$$ значит

$$y=(-\tg x)\cdot \ctg x=-1.$$

Область определения та же:

$$x\ne \pi n,\qquad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$y= \begin{cases} 1, & \tg x\ge 0,\\ -1, & \tg x<0, \end{cases} \qquad x\ne \pi n,\; x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n.$$

График также состоит из чередующихся участков прямых $$y=1$$ и $$y=-1$$ на промежутках, где функция определена.