Упр.20.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции: а) $$y=\mathrm{tg}\,x+\left|\mathrm{tg}\,x\right|$$; б) $$y=\left|\mathrm{ctg}\,x\right|-\mathrm{ctg}\,x$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=\tg x+|\tg x|.$$

Если $$\tg x\ge 0,$$ то $$|\tg x|=\tg x,$$ значит

$$y=\tg x+\tg x=2\tg x.$$

Если $$\tg x<0,$$ то $$|\tg x|=-\tg x,$$ значит

$$y=\tg x-\tg x=0.$$

Область определения:

$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Итак, график состоит из двух частей: на тех промежутках, где $$\tg x\ge 0,$$ это график функции $$y=2\tg x,$$ а где $$\tg x<0,$$ — отрезки оси $$Ox$$, то есть $$y=0.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=|\ctg x|-\ctg x.$$

Если $$\ctg x\ge 0,$$ то $$|\ctg x|=\ctg x,$$ значит

$$y=\ctg x-\ctg x=0.$$

Если $$\ctg x<0,$$ то $$|\ctg x|=-\ctg x,$$ значит

$$y=-\ctg x-\ctg x=-2\ctg x.$$

Область определения:

$$x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Следовательно, график функции состоит из участков оси $$Ox$$ там, где $$\ctg x\ge 0,$$ и из ветвей графика $$y=-2\ctg x$$ там, где $$\ctg x<0.$$

Ответ

а) $$y=\begin{cases} 2\tg x, & \tg x\ge 0,\\ 0, & \tg x<0, \end{cases} \quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$y=\begin{cases} 0, & \ctg x\ge 0,\\ -2\ctg x, & \ctg x<0, \end{cases} \quad x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$