Упр.20.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Исследуйте заданную функцию на монотонность: а) $$y=2\operatorname{tg}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1$$; б) $$y=\operatorname{ctg}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-2$$; в) $$y=-\operatorname{tg}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-3$$; г) $$y=-2\operatorname{ctg}\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+1{,}5$$.

Используем свойства функций $$\tg x$$ и $$\ctg x$$:

• $$\tg x$$ возрастает на промежутках $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$
• $$\ctg x$$ убывает на промежутках $$\left(\pi n;\,\pi+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

1. $$y=2\tg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1.$$

   Сдвиг графика вправо на $$\frac{\pi}{3}$$ не меняет монотонность, а умножение на положительное число $$2$$ и прибавление $$1$$ тоже не меняют её. Поэтому функция возрастает на

   $$\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}+\pi n\right)=\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

2. $$y=\ctg\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-2.$$

   Функция $$\ctg x$$ убывает, значит и данная функция убывает на промежутках

   $$\left(0-\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\pi-\frac{\pi}{3}+\pi n\right)=\left(-\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

3. $$y=-\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-3.$$

   Функция $$\tg x$$ возрастает, а умножение на $$-1$$ меняет монотонность на противоположную. Значит, функция убывает на

   $$\left(-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}+\pi n\right)=\left(-\frac{3\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

4. $$y=-2\ctg\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+1{,}5.$$

   Функция $$\ctg x$$ убывает, поэтому функция $$-\ctg x$$ возрастает. Следовательно, данная функция возрастает на

   $$\left(0+\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\pi+\frac{\pi}{6}+\pi n\right)=\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) возрастает на $$\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+\pi n\right)$$; б) убывает на $$\left(-\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+\pi n\right)$$; в) убывает на $$\left(-\frac{3\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right)$$; г) возрастает на $$\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$