Упр.20.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Постройте график функции: а) $$y=\operatorname{ctg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$; б) $$y=\operatorname{ctg}x+1$$; в) $$y=\operatorname{ctg}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$; г) $$y=\operatorname{ctg}x-2$$.
График функции $$y=\ctg x$$ сдвигается:
- влево на $$\frac{\pi}{2}$$, если в аргументе стоит $$x+\frac{\pi}{2}$$;
- вверх на $$1$$, если к функции прибавлено $$1$$;
- вправо на $$\frac{\pi}{3}$$, если в аргументе стоит $$x-\frac{\pi}{3}$$;
- вниз на $$2$$, если из функции вычтено $$2$$.
а) $$y=\ctg\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$
Это график $$y=\ctg x$$, сдвинутый влево на $$\frac{\pi}{2}$$. Поэтому его вертикальные асимптоты имеют вид
$$x=-\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
а нули функции находятся в точках
$$x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Главная ветвь проходит через начало координат и убывает на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$$
б) $$y=\ctg x+1$$
Это график $$y=\ctg x$$, сдвинутый вверх на $$1$$. Вертикальные асимптоты не меняются:
$$x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Главная ветвь проходит через точку $$\left(\frac{\pi}{2},1\right)$$ и убывает на промежутке $$\left(0,\pi\right).$$
в) $$y=\ctg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$
Это график $$y=\ctg x$$, сдвинутый вправо на $$\frac{\pi}{3}$$. Поэтому
$$x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
— вертикальные асимптоты, а нули функции:
$$x=\frac{5\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Главная ветвь проходит через точку $$\left(\frac{5\pi}{6},0\right)$$ и убывает на промежутке $$\left(\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right).$$
г) $$y=\ctg x-2$$
Это график $$y=\ctg x$$, сдвинутый вниз на $$2$$. Вертикальные асимптоты остаются прежними:
$$x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Главная ветвь проходит через точку $$\left(\frac{\pi}{2},-2\right)$$ и убывает на промежутке $$\left(0,\pi\right).$$
Ответ: графики получаются из $$y=\ctg x$$ соответствующими сдвигами: а) влево на $$\frac{\pi}{2}$$; б) вверх на $$1$$; в) вправо на $$\frac{\pi}{3}$$; г) вниз на $$2$$.
