Упр.20.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\operatorname{tg}x+\sin 2x-\operatorname{tg}3x-\cos 4x$$; б) $$y=\sin 3x+\cos 5x+\operatorname{ctg}x-2\operatorname{tg}2x$$.

Основной период функций $$y=\sin x$$ и $$y=\cos x$$ равен $$2\pi$$, а функций $$y=\tg x$$ и $$y=\ctg x$$ — $$\pi$$.

1. $$y=\tg x+\sin 2x-\tg 3x-\cos 4x.$$

   Найдём периоды слагаемых:

   $$T_1=\pi,$$
   $$T_2=\frac{2\pi}{2}=\pi,$$
   $$T_3=\frac{\pi}{3},$$
   $$T_4=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.$$

   Общий период равен наименьшему общему кратному этих чисел:

   $$T=\operatorname{НОК}\left(\pi,\pi,\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)=\pi.$$

2. $$y=\sin 3x+\cos 5x+\ctg x-2\tg 2x.$$

   Найдём периоды слагаемых:

   $$T_1=\frac{2\pi}{3},$$
   $$T_2=\frac{2\pi}{5},$$
   $$T_3=\pi,$$
   $$T_4=\frac{\pi}{2}.$$

   Общий период:

   $$T=\operatorname{НОК}\left(\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{5},\pi,\frac{\pi}{2}\right)=2\pi.$$

Ответ: а) $$\pi$$; б) $$2\pi$$.