Упр.20.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите графически уравнение:

а) $$\operatorname{ctg} x = 1$$; в) $$\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$; б) $$\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$$; г) $$\operatorname{ctg} x = 0$$.

Рассмотрим уравнения графически: нужно найти точки пересечения графика $$y=\operatorname{ctg}x$$ с горизонтальными прямыми.

1. $$\operatorname{ctg}x=1$$

   Графики пересекаются при $$x=\frac{\pi}{4}$$. Поскольку функция $$\operatorname{ctg}x$$ периодична с периодом $$\pi$$, получаем:

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\operatorname{ctg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Точка пересечения соответствует значению $$x=\frac{\pi}{3}$$, значит

   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$\operatorname{ctg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Графики пересекаются при $$x=\frac{2\pi}{3}$$, поэтому

   $$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\operatorname{ctg}x=0$$

   График $$y=\operatorname{ctg}x$$ пересекает ось абсцисс при $$x=\frac{\pi}{2}$$, следовательно

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$; б) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$; в) $$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n$$; г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.