Упр.20.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Решите графически уравнение:
а) $$\operatorname{ctg} x = 1$$; в) $$\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$; б) $$\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$$; г) $$\operatorname{ctg} x = 0$$.
Рассмотрим уравнения графически: нужно найти точки пересечения графика $$y=\operatorname{ctg}x$$ с горизонтальными прямыми.
$$\operatorname{ctg}x=1$$
Графики пересекаются при $$x=\frac{\pi}{4}$$. Поскольку функция $$\operatorname{ctg}x$$ периодична с периодом $$\pi$$, получаем:
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
$$\operatorname{ctg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Точка пересечения соответствует значению $$x=\frac{\pi}{3}$$, значит
$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
$$\operatorname{ctg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Графики пересекаются при $$x=\frac{2\pi}{3}$$, поэтому
$$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
$$\operatorname{ctg}x=0$$
График $$y=\operatorname{ctg}x$$ пересекает ось абсцисс при $$x=\frac{\pi}{2}$$, следовательно
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$; б) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$; в) $$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n$$; г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.
