Упр.20.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите область значений заданной функции:
а) $$y=\operatorname{tg}x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right)$$
б) $$y=\operatorname{ctg}x,\quad x\in\left[-\frac{5\pi}{6};-\frac{\pi}{3}\right)$$
в) $$y=\operatorname{tg}x,\quad x\in\left(\frac{3\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right)\text{ и }\left(\frac{3\pi}{2};\frac{7\pi}{4}\right)$$
г) $$y=\operatorname{ctg}x,\quad x\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)\text{ и }\left(\pi;\frac{3\pi}{2}\right)$$
а) При $$x \in \left[0;\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$y=\tg x$$ возрастает. Наименьшее значение достигается при $$x=0$$:
$$y_{\min}=\tg 0=0.$$
Наибольшего значения нет, так как при $$x \to \frac{\pi}{2}-0$$ имеем $$\tg x \to +\infty.$$
Следовательно,
$$E(y)=\left[0;+\infty\right).$$
б) При $$x \in \left[-\frac{5\pi}{6};-\frac{\pi}{3}\right]$$ функция $$y=\ctg x$$ непрерывна и убывает. Найдём значения на концах отрезка:
$$\ctg\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)}{\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)}=\frac{-\frac{\sqrt3}{2}}{-\frac12}=\sqrt3,$$
$$\ctg\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{\frac12}{-\frac{\sqrt3}{2}}=-\frac{1}{\sqrt3}.$$
Значит,
$$E(y)=\left[-\frac{1}{\sqrt3};\sqrt3\right].$$
в) Рассмотрим промежутки $$\left(\frac{3\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right)$$ и $$\left(\frac{3\pi}{2};\frac{7\pi}{4}\right).$$
На каждом из них функция $$y=\tg x$$ непрерывна и возрастает, а в точке $$x=\frac{3\pi}{2}$$ имеет разрыв.
На промежутке $$\left(\frac{3\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right)$$:
$$\tg\frac{3\pi}{4}=-1,$$
при $$x \to \frac{3\pi}{2}-0$$ имеем $$\tg x \to +\infty.$$
Значит, здесь $$y \in (-1;+\infty).$$
На промежутке $$\left(\frac{3\pi}{2};\frac{7\pi}{4}\right)$$:
при $$x \to \frac{3\pi}{2}+0$$ имеем $$\tg x \to -\infty,$$
$$\tg\frac{7\pi}{4}=-1.$$
Значит, здесь $$y \in (-\infty;-1).$$
Итак,
$$E(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$
г) Рассмотрим промежутки $$\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)$$ и $$\left(\pi;\frac{3\pi}{2}\right).$$
Функция $$y=\ctg x$$ непрерывна на каждом из них и имеет разрыв в точке $$x=\pi.$$
На промежутке $$\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)$$:
при $$x \to \frac{\pi}{2}+0$$ имеем $$\ctg x \to 0,$$
при $$x \to \pi-0$$ имеем $$\ctg x \to -\infty.$$
Значит, здесь $$y \in (-\infty;0).$$
На промежутке $$\left(\pi;\frac{3\pi}{2}\right)$$:
при $$x \to \pi+0$$ имеем $$\ctg x \to +\infty,$$
при $$x \to \frac{3\pi}{2}-0$$ имеем $$\ctg x \to 0.$$
Значит, здесь $$y \in (0;+\infty).$$
Следовательно,
$$E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Ответ
а) $$\left[0;+\infty\right)$$; б) $$\left[-\frac{1}{\sqrt3};\sqrt3\right]$$; в) $$(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$$; г) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
