Упр.20.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\operatorname{ctg}x$$ на заданном промежутке: а) на отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$; б) на полуинтервале $$\left[\frac{\pi}{2}\right)$$; в) на интервале $$(-\pi;0)$$; г) на отрезке $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{3\pi}{4}\right)$$.

Функция $$y=\ctg x$$ на промежутках, где она непрерывна, убывает. Поэтому на каждом отрезке наименьшее значение достигается в правом конце, а наибольшее — в левом.

1. На отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$ функция непрерывна.

   $$\ctg\frac{\pi}{4}=1,$$
   $$\ctg\frac{\pi}{2}=0.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1.$$

2. На полуинтервале $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right)$$ функция имеет разрыв в точке $$x=\pi,$$ поэтому наибольшее значение достигается в левой границе.

   $$\ctg\frac{\pi}{2}=0.$$

   Наименьшего значения нет, а наибольшее равно $$0.$$

3. На интервале $$(-\pi;0)$$ функция имеет разрывы в точках $$x=-\pi$$ и $$x=0,$$ поэтому ни наименьшего, ни наибольшего значения нет.

4. На отрезке $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{3\pi}{4}\right]$$ функция непрерывна.

   $$\ctg\frac{\pi}{6}=\sqrt{3},$$
   $$\ctg\frac{3\pi}{4}=-1.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=\sqrt{3}.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1$$;
б) наименьшего значения нет, $$y_{\max}=0$$;
в) наименьшего и наибольшего значений нет;
г) $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=\sqrt{3}$$.