Упр.2.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Сколько существует обыкновенных правильных несократимых дробей со знаменателем, равным: а) $$17$$; б) $$236$$? Выпишите наибольшую из этих дробей в каждом случае.

а) Так как $$17$$ — простое число, то с ним взаимно просты все числители от $$1$$ до $$16$$. Значит, таких дробей:

$$N=16.$$

Наибольшая дробь:

$$\frac{16}{17}.$$

б) Число $$236$$ составное. Разложим его на простые множители:

$$236=2^2\cdot 59.$$

Число числителей, взаимно простых с $$236$$ и меньших $$236$$, равно значению функции Эйлера:

$$\varphi(236)=236\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac1{59}\right)=236\cdot\frac12\cdot\frac{58}{59}=116.$$

Значит, существует $$116$$ правильных несократимых дробей со знаменателем $$236$$.

Наибольшая из них:

$$\frac{235}{236}.$$

Ответ: а) $$16$$, $$\frac{16}{17}$$; б) $$116$$, $$\frac{235}{236}$$.