Упр.19.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

На каких промежутках функция $$y=3\cos\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$$ а) возрастает; б) убывает?

Функция $$y=3\cos\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$$ отличается от функции $$y=\cos x$$ только растяжением по оси ординат, поэтому на промежутки возрастания и убывания множитель $$3$$ не влияет.

Положим

$$t=2x+\frac{2\pi}{3}.$$

Тогда:

• $$\cos t$$ возрастает при $$-\pi+2\pi n \le t \le 0+2\pi n,$$
• $$\cos t$$ убывает при $$0+2\pi n \le t \le \pi+2\pi n,$$

где $$n\in\mathbb{Z}.$$

1) Возрастание:

$$-\pi+2\pi n \le 2x+\frac{2\pi}{3} \le 2\pi n$$

$$-\pi-\frac{2\pi}{3}+2\pi n \le 2x \le -\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

$$-\frac{5\pi}{3}+2\pi n \le 2x \le -\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

$$-\frac{5\pi}{6}+\pi n \le x \le -\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

2) Убывание:

$$2\pi n \le 2x+\frac{2\pi}{3} \le \pi+2\pi n$$

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n \le 2x \le \pi-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n \le 2x \le \frac{\pi}{3}+2\pi n$$

$$-\frac{\pi}{3}+\pi n \le x \le \frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Ответ

а) $$\left[-\frac{5\pi}{6}+\pi n;\,-\frac{\pi}{3}+\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z};$$

б) $$\left[-\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.$$