Упр.19.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

На каких промежутках функция $$y=-1{,}5\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$$ а) возрастает; б) убывает?

Рассмотрим функцию $$y=-1{,}5\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right).$$

Обозначим $$t=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}.$$ Тогда

$$y=-1{,}5\sin t.$$

Функция $$\sin t$$ возрастает на промежутках

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и убывает на промежутках

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как перед синусом стоит отрицательный коэффициент, то для функции $$y=-1{,}5\sin t$$ промежутки возрастания и убывания меняются местами.

Найдём соответствующие промежутки для $$x$$.

а) Функция возрастает:

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le \frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n.$$

Прибавим $$\frac{\pi}{4}$$ и умножим на $$2$$:

$$2\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right)\le x \le 2\left(\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right).$$

То есть

$$\frac{3\pi}{2}+4\pi n \le x \le \frac{7\pi}{2}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Функция убывает:

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le \frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Прибавим $$\frac{\pi}{4}$$ и умножим на $$2$$:

$$2\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)\le x \le 2\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right).$$

Следовательно,

$$-\frac{\pi}{2}+4\pi n \le x \le \frac{3\pi}{2}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\text{а) } \left[\frac{3\pi}{2}+4\pi n;\,\frac{7\pi}{2}+4\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z;$$

$$\text{б) } \left[-\frac{\pi}{2}+4\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+4\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$