Упр.19.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Подберите коэффициенты $$a$$, $$b$$ и $$c$$ так, чтобы на данном рисунке был изображён график функции $$y=a\sin\left(bx+c:a\right)$$: а) рис. 62; б) рис. 63.

Для функции $$y=a\sin(bx+c)$$

коэффициент $$a$$ равен амплитуде графика, а $$b$$ и $$c$$ находим по нулям функции и сдвигу вдоль оси $$Ox$$.

а)

По графику нули функции находятся в точках $$x_1=-\frac{\pi}{12}$$ и $$x_2=\frac{5\pi}{12}$$. Расстояние между соседними нулями синусоиды равно $$\frac{\pi}{b}$$, значит

$$\frac{\pi}{b}= \frac{5\pi}{12}-\left(-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{6\pi}{12}=\frac{\pi}{2},$$

откуда $$b=2$$.

Сдвиг графика даёт

$$-\frac{c}{b}=-\frac{\pi}{12},$$

следовательно, при $$b=2$$

$$c=2\cdot \frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{6}.$$

Максимальное значение функции равно $$2$$, значит $$a=2$$.

Ответ: $$y=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right).$$

б)

По графику нули функции находятся в точках $$x_1=\frac{\pi}{2}$$ и $$x_2=\frac{5\pi}{2}$$. Тогда

$$\frac{\pi}{b}= \frac{5\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=2\pi,$$

откуда $$b=\frac12$$.

Сдвиг графика:

$$-\frac{c}{b}=\frac{\pi}{2},$$

значит при $$b=\frac12$$

$$c=-\frac{\pi}{4}.$$

Минимальное значение графика равно $$-1{,}5$$, следовательно, $$a=-1{,}5$$.

Ответ: $$y=-1{,}5\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right).$$