Упр.19.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\frac12\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$$

Нули функции найдём из уравнения

$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)=0,$$

откуда

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Середина дуги между соседними нулями:

$$x=\frac12\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3},$$

$$y=\frac12\sin\left(\frac{2\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)=\frac12\sin\frac{\pi}{2}=\frac12.$$

По этим точкам строится график синусоиды.

б) $$y=-\frac32\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)$$

Нули функции найдём из уравнения

$$\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=0,$$

откуда

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{3}+4\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Середина дуги между соседними нулями:

$$x=\frac12\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3},$$

$$y=-\frac32\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac32\cos 0=-\frac32.$$

По этим точкам строится график косинусоиды.

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{3}+4\pi n \text{ или } x=\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$