Упр.19.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

а) $$y=2\sin\left(3x-\frac{3\pi}{4}\right)=2\sin\left(3\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right).$$

Нули функции найдём из уравнения

$$\sin\left(3x-\frac{3\pi}{4}\right)=0,$$

откуда

$$3x-\frac{3\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}.$$

Первые два нуля:

$$x_0=\frac{\pi}{4},\qquad x_1=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{12}.$$

Середина дуги между ними:

$$x=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{7\pi}{12}\right)=\frac{5\pi}{12}.$$

Значение функции в этой точке:

$$y=2\sin\left(3\cdot\frac{5\pi}{12}-\frac{3\pi}{4}\right)=2\sin\frac{\pi}{2}=2.$$

Следовательно, график проходит через точки $$\left(\frac{\pi}{4},0\right)$$ и $$\left(\frac{7\pi}{12},0\right)$$, а между ними достигает максимума $$2$$ в точке $$\left(\frac{5\pi}{12},2\right).$$

б) $$y=-3\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Нули функции найдём из уравнения

$$\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=0,$$

откуда

$$2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

Первые два нуля:

$$x_0=-\frac{5\pi}{12},\qquad x_1=\frac{\pi}{12}.$$

Середина дуги между ними:

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{12}\right)=-\frac{\pi}{6}.$$

Значение функции в этой точке:

$$y=-3\cos\left(2\cdot\left(-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{3}\right)=-3\cos 0=-3.$$

Значит, график проходит через точки $$\left(-\frac{5\pi}{12},0\right)$$ и $$\left(\frac{\pi}{12},0\right)$$, а в середине дуги имеет минимум $$-3$$ в точке $$\left(-\frac{\pi}{6},-3\right).$$