Упр.19.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$t=\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}.$$ Тогда $$y=2\sin t.$$

Функция $$y=2\sin t$$ возрастает на промежутках

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и убывает на промежутках

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

а) Возрастает на $$\left(a-\frac{2\pi}{3};\,a+\frac{2\pi}{3}\right)$$

Тогда должно выполняться:

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le \frac{x}{2}+\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Решим неравенство относительно $$x$$:

$$-\frac{2\pi}{3}+4\pi n \le x \le \frac{4\pi}{3}+4\pi n.$$

Чтобы функция возрастала на интервале $$\left(a-\frac{2\pi}{3};\,a+\frac{2\pi}{3}\right),$$ нужно, чтобы

$$a-\frac{2\pi}{3}\ge -\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\qquad a+\frac{2\pi}{3}\le \frac{4\pi}{3}+4\pi n.$$

Отсюда

$$a\ge 4\pi n,\qquad a\le 4\pi n+\frac{2\pi}{3}.$$

Следовательно,

$$-\frac{2\pi}{3}+4\pi n \le a \le 4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Убывает на $$\left[a;\,a+\frac{\pi}{2}\right]$$

Тогда должно выполняться:

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le \frac{x}{2}+\frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n.$$

Решим относительно $$x$$:

$$\frac{2\pi}{3}+4\pi n \le x \le \frac{8\pi}{3}+4\pi n.$$

Чтобы функция убывала на отрезке $$\left[a;\,a+\frac{\pi}{2}\right],$$ нужно, чтобы

$$a\ge \frac{2\pi}{3}+4\pi n,\qquad a+\frac{\pi}{2}\le \frac{8\pi}{3}+4\pi n.$$

Тогда

$$a\le \frac{8\pi}{3}-\frac{\pi}{2}+4\pi n=\frac{13\pi}{6}+4\pi n.$$

Следовательно,

$$\frac{2\pi}{3}+4\pi n \le a \le \frac{13\pi}{6}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{2\pi}{3}+4\pi n \le a \le 4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\frac{2\pi}{3}+4\pi n \le a \le \frac{13\pi}{6}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$