Упр.19.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим функцию $$y=3\cos\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right).$$

Функция $$y=\cos t$$ возрастает на промежутках $$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n]$$ и убывает на промежутках $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n]$$, где $$n\in\mathbb Z.$$

Положим $$t=2x+\frac{2\pi}{3}.$$ Тогда:

если $$t\in[-\pi+2\pi n;\,2\pi n],$$ то функция возрастает;

если $$t\in[2\pi n;\,\pi+2\pi n],$$ то функция убывает.

Переходим к переменной $$x$$:

$$-\pi+2\pi n \le 2x+\frac{2\pi}{3} \le 2\pi n$$
$$-\frac{5\pi}{6}+\pi n \le x \le -\frac{\pi}{3}+\pi n$$

Значит, $$y$$ возрастает на $$\left[-\frac{5\pi}{6}+\pi n;\,-\frac{\pi}{3}+\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right].$$

1. На промежутке $$\left[0;\,\frac{2\pi}{3}\right]$$ получаем:

   возрастает на $$\left[\frac{\pi}{6};\,\frac{2\pi}{3}\right],$$

   убывает на $$\left[0;\,\frac{\pi}{6}\right].$$

2. На промежутке $$\left(1;\,2\right)$$ имеем:

   $$\frac{\pi}{6}<1<2<\frac{2\pi}{3},$$

   поэтому функция возрастает на $$\left(1;\,2\right).$$

3. На промежутке $$\left[-\frac{7\pi}{12};\,0\right]$$ получаем:

   возрастает на $$\left[-\frac{7\pi}{12};\,-\frac{\pi}{3}\right],$$

   убывает на $$\left[-\frac{\pi}{3};\,0\right].$$

4. На промежутке $$\left(-1;\,1\right)$$ имеем:

   $$-\frac{\pi}{3}<-1<1<\frac{\pi}{6},$$

   поэтому функция возрастает на $$\left[\frac{\pi}{6};\,1\right]$$ и убывает на $$\left(-1;\,\frac{\pi}{6}\right].$$

Ответ

а) возрастает на $$\left[\frac{\pi}{6};\,\frac{2\pi}{3}\right]$$ и убывает на $$\left[0;\,\frac{\pi}{6}\right]$$;
б) возрастает на $$\left(1;\,2\right)$$;
в) возрастает на $$\left[-\frac{7\pi}{12};\,-\frac{\pi}{3}\right]$$ и убывает на $$\left[-\frac{\pi}{3};\,0\right]$$;
г) возрастает на $$\left[\frac{\pi}{6};\,1\right]$$ и убывает на $$\left(-1;\,\frac{\pi}{6}\right].$$