Упр.19.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим функцию $$y=-1{,}5\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right).$$

Пусть $$t=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}.$$ Тогда функция имеет вид $$y=-1{,}5\sin t.$$

Функция $$y=-\sin t$$ возрастает при $$t\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$ и убывает при $$t\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Так как множитель $$-1{,}5$$ не меняет промежутки монотонности, а аргумент линейно зависит от $$x$$, получаем:

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$

$$x\in\left[\frac{3\pi}{2}+4\pi n;\,\frac{7\pi}{2}+4\pi n\right],$$

то есть функция возрастает на

$$\left[\frac{3\pi}{2}+4\pi n;\,\frac{7\pi}{2}+4\pi n\right],\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Аналогично, убывает на

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$

$$x\in\left[-\frac{\pi}{2}+4\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+4\pi n\right],$$

то есть функция убывает на

$$\left[-\frac{\pi}{2}+4\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+4\pi n\right],\quad n\in\mathbb{Z}.$$

а)

На отрезке $$[0;2\pi]$$ функция убывает на $$\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$ и возрастает на $$\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right].$$

б)

Для промежутка $$\left(2;4\right)$$ имеем $$-\frac{\pi}{2}<2<4<\frac{3\pi}{2},$$ значит, функция убывает на $$\left(2;4\right).$$

в)

На отрезке $$\left[-\frac{4\pi}{3};0\right]$$ функция возрастает на $$\left[-\frac{4\pi}{3};-\frac{\pi}{2}\right]$$ и убывает на $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right].$$

г)

Для промежутка $$(-1;2)$$ выполняется $$-\frac{\pi}{2}<-1<2<\frac{3\pi}{2},$$ значит, функция убывает на $$(-1;2).$$

Ответ

а) убывает на $$\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$ и возрастает на $$\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right]$$; б) убывает на $$\left(2;4\right)$$; в) возрастает на $$\left[-\frac{4\pi}{3};-\frac{\pi}{2}\right]$$ и убывает на $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$; г) убывает на $$(-1;2).$$