Упр.19.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Для построения графика удобно найти нули функции и середину дуги.

а) $$y=3\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$

Нули функции:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0$$

$$x+\frac{\pi}{2}=\pi n$$

$$x=-\frac{\pi}{2}+\pi n$$

При $$n=0$$ и $$n=1$$ получаем:

$$x_0=-\frac{\pi}{2}, \qquad x_1=\frac{\pi}{2}$$

Середина дуги:

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=0$$

$$y=3\sin\left(0+\frac{\pi}{2}\right)=3$$

Значит, график проходит через точки $$\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$$, $$\left(0,3\right)$$, $$\left(\frac{\pi}{2},0\right)$$ и далее повторяется с периодом $$2\pi$$.

б) $$y=\cos\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$

Нули функции:

$$\cos\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0$$

$$\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x+\frac{\pi}{3}=\pi+2\pi n$$

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

При $$n=-1$$ и $$n=0$$ получаем:

$$x_0=-\frac{4\pi}{3}, \qquad x_1=\frac{2\pi}{3}$$

Середина дуги:

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{4\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\pi}{3}$$

$$y=\cos\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=\cos 0=1$$

Следовательно, график проходит через точки $$\left(-\frac{4\pi}{3},0\right)$$, $$\left(-\frac{\pi}{3},1\right)$$, $$\left(\frac{2\pi}{3},0\right)$$ и повторяется с периодом $$4\pi$$.

Ответ

а) Нули: $$x=-\frac{\pi}{2}+\pi n$$, середина дуги: $$\left(0,3\right)$$.
б) Нули: $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$, середина дуги: $$\left(-\frac{\pi}{3},1\right)$$.