Упр.18.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- На каких промежутках функция $$y=1{,}5\cos\frac{3x}{2}$$: а) возрастает; б) убывает?
Функция $$y=1{,}5\cos\frac{3x}{2}$$ отличается от функции $$y=\cos x$$ только растяжением по оси $$x$$ в $$\frac{2}{3}$$ раза и умножением значений на положительное число $$1{,}5$$, поэтому промежутки возрастания и убывания определяются по аргументу $$\frac{3x}{2}$$.
Известно, что $$y=\cos t$$:
- возрастает при $$\pi+2\pi n \le t \le 2\pi+2\pi n$$;
- убывает при $$2\pi n \le t \le \pi+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
Положим $$t=\frac{3x}{2}$$.
а) Возрастает:
$$\pi+2\pi n \le \frac{3x}{2} \le 2\pi+2\pi n$$
$$\frac{2}{3}(\pi+2\pi n) \le x \le \frac{2}{3}(2\pi+2\pi n)$$
$$\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3} \le x \le \frac{4\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
б) Убывает:
$$2\pi n \le \frac{3x}{2} \le \pi+2\pi n$$
$$\frac{2}{3}(2\pi n) \le x \le \frac{2}{3}(\pi+2\pi n)$$
$$\frac{4\pi n}{3} \le x \le \frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ: функция возрастает на $$\left[\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3},\ \frac{4\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{4\pi n}{3},\ \frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3}\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$.
