Упр.18.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- На каких промежутках функция $$y=-0{,}5\sin\frac{2x}{3}$$: а) возрастает; б) убывает?
Найдём промежутки монотонности функции $$y=-0{,}5\sin\frac{2x}{3}.$$
Функция $$y=\sin t$$ возрастает при $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{\pi}{2}+2\pi n,$$ и убывает при $$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$ где $$n\in\mathbb Z.$$
Положим $$t=\frac{2x}{3}.$$ Тогда:
1) для возрастания:
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le \frac{2x}{3} \le \frac{\pi}{2}+2\pi n$$
$$-\frac{3\pi}{4}+3\pi n \le x \le \frac{3\pi}{4}+3\pi n$$
Но перед синусом стоит знак «минус», значит направление монотонности меняется. Следовательно, функция $$y=-0{,}5\sin\frac{2x}{3}$$ возрастает там, где $$\sin\frac{2x}{3}$$ убывает:
$$\frac{3\pi}{4}+3\pi n \le x \le \frac{9\pi}{4}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) аналогично, функция $$y=-0{,}5\sin\frac{2x}{3}$$ убывает там, где $$\sin\frac{2x}{3}$$ возрастает:
$$-\frac{3\pi}{4}+3\pi n \le x \le \frac{3\pi}{4}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$\frac{3\pi}{4}+3\pi n \le x \le \frac{9\pi}{4}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$-\frac{3\pi}{4}+3\pi n \le x \le \frac{3\pi}{4}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
