Упр.18.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Составьте возможную аналитическую запись функции по её графику, изображённому: а) на рис. 58; в) на рис. 60; б) на рис. 59; г) на рис. 61.
а) На луче $$(-\infty;0]$$ график — прямая, проходящая через точки $$(-1;1)$$ и $$(0;0)$$. Тогда
$$y=kx+b,\quad b=0,\quad 1=k\cdot(-1),\quad k=-1,$$
значит, $$y=-x$$ при $$x\le 0$$.
На луче $$[0;+\infty)$$ изображена дуга синусоиды с центром симметрии в точке $$(0;0)$$, поэтому
$$y=a\sin kx.$$
Вершина графика находится в точке $$\left(\frac{\pi}{4};1\right)$$, откуда $$a=1$$ и
$$\frac{\pi}{2}:k=\frac{\pi}{4}\quad \Rightarrow\quad k=2.$$
Следовательно, $$y=\sin 2x$$ при $$x>0$$.
Ответ: $$y=\begin{cases}-x,& x\le 0,\\ \sin 2x,& x>0.\end{cases}$$
б) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}\right]$$ изображена дуга синусоиды. Центр симметрии в точке $$(0;1)$$, значит,
$$y=a\cos kx+c,\quad c=0,\quad a=1,$$
то есть $$y=\cos kx.$$
График пересекает ось $$Ox$$ в точке $$\left(\frac{\pi}{6};0\right)$$, поэтому
$$\frac{\pi}{2}:k=\frac{\pi}{6}\quad \Rightarrow\quad k=3.$$
Значит, на этом промежутке $$y=\cos 3x$$, а при $$x>\frac{\pi}{3}$$ график — прямая $$y=-1$$.
Ответ: $$y=\begin{cases}\cos 3x,& -\frac{\pi}{6}\le x\le \frac{\pi}{3},\\ -1,& x>\frac{\pi}{3}.\end{cases}$$
в) На луче $$(-\infty;0]$$ график — дуга синусоиды с центром симметрии в точке $$(0;0)$$, значит,
$$y=a\sin kx.$$
Вершина лежит в точке $$\left(-\frac{\pi}{4};-1\right)$$, откуда $$a=1$$ и
$$\frac{\pi}{2}:k=\frac{\pi}{4}\quad \Rightarrow\quad k=2.$$
Следовательно, $$y=\sin 2x$$ при $$x<0$$.
На луче $$[0;+\infty)$$ изображена дуга косинусоиды с вершиной в точке $$(0;2)$$, значит,
$$y=a\cos kx,\quad a=2,$$
то есть $$y=2\cos kx.$$
График пересекает ось $$Ox$$ в точке $$\left(\frac{\pi}{2};0\right)$$, поэтому
$$\frac{\pi}{2}:k=\frac{\pi}{2}\quad \Rightarrow\quad k=1.$$
Значит, при $$x>0$$ имеем $$y=2\cos x$$.
Ответ: $$y=\begin{cases}\sin 2x,& x<0,\\ 2\cos x,& x>0.\end{cases}$$
г) На луче $$(-\infty;0]$$ график — дуга синусоиды с центром симметрии в точке $$(0;0)$$, значит,
$$y=a\sin kx.$$
Вершина лежит в точке $$\left(-\frac{\pi}{2};2\right)$$, откуда $$a=-2$$ и
$$\frac{\pi}{2}:k=\frac{\pi}{2}\quad \Rightarrow\quad k=1.$$
Следовательно, $$y=-2\sin x$$ при $$-2\pi\le x\le 0$$.
На луче $$[0;+\infty)$$ изображена дуга косинусоиды с вершиной в точке $$(0;1)$$, значит,
$$y=a\cos kx,\quad a=1,$$
то есть $$y=\cos kx.$$
График пересекает ось $$Ox$$ в точке $$(\pi;0)$$, поэтому
$$\frac{\pi}{2}:k=\pi\quad \Rightarrow\quad k=\frac12.$$
Значит, при $$x>0$$ имеем $$y=\cos \frac{x}{2}$$.
Ответ: $$y=\begin{cases}-2\sin x,& -2\pi\le x\le 0,\\ \cos \frac{x}{2},& x>0.\end{cases}$$
