Упр.17.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим функцию $$y=2\cos x.$$

1. На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ функция возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$ и убывает на $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$

   Вычислим значения в концах и в точке экстремума:

   $$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0,$$

   $$y(0)=2\cos 0=2,$$

   $$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.$$

   Ответ: $$y_{\min}=0,\quad y_{\max}=2.$$

2. На интервале $$\left(0;\frac{3\pi}{2}\right)$$ функция убывает на $$\left(0;\pi\right]$$ и возрастает на $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right).$$

   Проверим значения в характерных точках:

   $$y(0)=2\cos 0=2,$$

   $$y(\pi)=2\cos \pi=-2,$$

   $$y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0.$$

   Наибольшего значения на данном интервале функция не достигает, так как точка $$x=0$$ не входит в интервал.

   Ответ: $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}\text{ — нет.}$$

3. На полуинтервале $$\left[\frac{\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)$$ функция убывает на $$\left[\frac{\pi}{3};\pi\right]$$ и возрастает на $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right).$$

   Найдём значения в точках:

   $$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\frac{\pi}{3}=1,$$

   $$y(\pi)=2\cos\pi=-2,$$

   $$y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0.$$

   Ответ: $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=1.$$

4. На отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right]$$ функция возрастает на $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\pi\right]$$ и убывает на $$\left[-\pi;-\frac{\pi}{4}\right].$$

   Вычислим значения:

   $$y\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=0,$$

   $$y(-\pi)=2\cos(-\pi)=-2,$$

   $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.$$

   Ответ: $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=\sqrt{2}.$$