Упр.17.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим выражение по случаям, учитывая знаки $$x$$ и $$\cos x$$.

Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$, а значит

$$\frac{x-|x|}{2}=\frac{x-x}{2}=0.$$

Тогда:

$$y=\cos x+\cos 0+|\cos x|=\cos x+1+|\cos x|.$$

1) При $$x \ge 0$$ и $$\cos x \ge 0$$ имеем $$|\cos x|=\cos x$$, поэтому

$$y=\cos x+1+\cos x=2\cos x+1.$$

2) При $$x \ge 0$$ и $$\cos x < 0$$ имеем $$|\cos x|=-\cos x$$, поэтому

$$y=\cos x+1-\cos x=1.$$

Если $$x < 0$$, то $$|x|=-x$$, и

$$\frac{x-|x|}{2}=\frac{x-(-x)}{2}=\frac{2x}{2}=x.$$

Тогда:

$$y=\cos x+\cos x+|\cos x|=2\cos x+|\cos x|.$$

3) При $$x < 0$$ и $$\cos x \ge 0$$ имеем $$|\cos x|=\cos x$$, значит

$$y=2\cos x+\cos x=3\cos x.$$

4) При $$x < 0$$ и $$\cos x < 0$$ имеем $$|\cos x|=-\cos x$$, поэтому

$$y=2\cos x-\cos x=\cos x.$$

Итак, функция задаётся так:

$$y= \begin{cases} 2\cos x+1, & x \ge 0,\ \cos x \ge 0,\\ 1, & x \ge 0,\ \cos x < 0,\\ 3\cos x, & x < 0,\ \cos x \ge 0,\\ \cos x, & x < 0,\ \cos x < 0. \end{cases}$$

По этим формулам строится график функции.

Ответ

$$y= \begin{cases} 2\cos x+1, & x \ge 0,\ \cos x \ge 0,\\ 1, & x \ge 0,\ \cos x < 0,\\ 3\cos x, & x < 0,\ \cos x \ge 0,\\ \cos x, & x < 0,\ \cos x < 0. \end{cases}$$