Упр.17.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим значения модулей по знакам $$x$$ и соответствующих тригонометрических функций.

а) $$y=\sin x+\sin|x|+|\sin x|$$

Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$, значит

$$y=\sin x+\sin x+|\sin x|=2\sin x+|\sin x|.$$

Тогда:

если $$\sin x\ge 0$$, то $$|\sin x|=\sin x$$ и

$$y=3\sin x;$$

если $$\sin x<0$$, то $$|\sin x|=-\sin x$$ и

$$y=\sin x.$$

Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит

$$y=\sin x+\sin(-x)+|\sin x|=-\sin x+|\sin x|.$$

Тогда:

если $$\sin x\ge 0$$, то

$$y=-\sin x+\sin x=0;$$

если $$\sin x<0$$, то

$$y=-\sin x-\sin x=-2\sin x.$$

Итак,

$$y= \begin{cases} 3\sin x, & x\ge 0,\ \sin x\ge 0,\\ \sin x, & x\ge 0,\ \sin x<0,\\ 0, & x<0,\ \sin x\ge 0,\\ -2\sin x, & x<0,\ \sin x<0. \end{cases}$$

б) $$y=\cos x+\cos|x|-|\cos x|$$

Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$, поэтому

$$y=\cos x+\cos x-|\cos x|=2\cos x-|\cos x|.$$

Тогда:

если $$\cos x\ge 0$$, то $$|\cos x|=\cos x$$ и

$$y=\cos x;$$

если $$\cos x<0$$, то $$|\cos x|=-\cos x$$ и

$$y=3\cos x.$$

Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит

$$y=\cos x+\cos(-x)-|\cos x|=2\cos x-|\cos x|.$$

Следовательно:

если $$\cos x\ge 0$$, то

$$y=\cos x;$$

если $$\cos x<0$$, то

$$y=3\cos x.$$

Итак,

$$y= \begin{cases} \cos x, & \cos x\ge 0,\\ 3\cos x, & \cos x<0. \end{cases}$$

Ответ: а) $$y=\sin x+\sin|x|+|\sin x|$$ задаётся кусочно формулой выше; б) $$y=\cos x+\cos|x|-|\cos x|$$ задаётся кусочно формулой выше.