Упр.17.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Составьте возможную аналитическую запись функции по её графику, изображённому: а) на рис. 56; б) на рис. 57.

а) На луче $$(-\infty;0]$$ изображена ветвь параболы с вершиной в точке $$(0;0)$$, значит, можно взять вид

$$y=ax^2.$$

График проходит через точку $$(-1;1)$$, поэтому

$$1=a\cdot(-1)^2,$$

откуда $$a=1$$. Тогда на этом промежутке

$$y=x^2,\quad x<0.$$

На отрезке $$[0;\pi]$$ изображена дуга синусоиды. Возьмём

$$y=a\sin x.$$

По точке $$\left(\frac{\pi}{2};\frac12\right)$$ получаем

$$\frac12=a\sin\frac{\pi}{2}=a,$$

значит, $$a=\frac12$$ и

$$y=\frac12\sin x,\quad 0\le x\le \pi.$$

Итак,

$$y=\begin{cases} x^2, & x<0,\\[4pt] \frac12\sin x, & 0\le x\le \pi. \end{cases}$$

б) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ изображена дуга косинусоиды с вершиной в точке $$\left(0;\frac32\right)$$, значит, можно взять

$$y=a\cos x.$$

Так как $$y(0)=\frac32$$, то

$$a=\frac32,$$

следовательно,

$$y=\frac32\cos x,\quad -\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}.$$

На луче $$\left[\frac{\pi}{2};+\infty\right)$$ изображена прямая. Запишем её в виде

$$y=kx+b.$$

Она проходит через точку $$\left(\frac{\pi}{2};0\right)$$, значит,

$$0=k\cdot\frac{\pi}{2}+b.$$

По графику наклон прямой равен $$1$$, поэтому $$k=1$$, а тогда

$$b=-\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$y=x-\frac{\pi}{2},\quad x>\frac{\pi}{2}.$$

Итак,

$$y=\begin{cases} \frac32\cos x, & -\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2},\\[4pt] x-\frac{\pi}{2}, & x>\frac{\pi}{2}. \end{cases}$$

Ответ

а) $$y=\begin{cases} x^2, & x<0,\\[4pt] \frac12\sin x, & 0\le x\le \pi. \end{cases}$$

б) $$y=\begin{cases} \frac32\cos x, & -\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2},\\[4pt] x-\frac{\pi}{2}, & x>\frac{\pi}{2}. \end{cases}$$