Упр.17.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Подберите коэффициенты $$a$$ и $$b$$ так, чтобы на данном рисунке был изображён график функции $$y=a\sin(x+b)$$ или $$y=a\cos(x+6:a)$$:

а) рис. 52;

б) рис. 53;

в) рис. 54;

г) рис. 55.

а) Рассмотрим график функции $$y=a\sin(x+b).$$

График симметричен относительно точки $$\left(\frac{\pi}{3};0\right),$$ значит,

$$b=-\frac{\pi}{3}.$$

По рисунку видно, что $$y_{\max}=1,$$ $$y_{\min}=-1,$$ поэтому

$$\Delta y=1-(-1)=2,$$

а значит,

$$a=\frac{2}{2}=1.$$

Следовательно,

$$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

б) Рассмотрим график функции $$y=a\cos(x+b).$$

Вершина графика находится в точке $$\left(-\frac{\pi}{6};0\right),$$ значит,

$$b=\frac{\pi}{6}.$$

По рисунку $$y_{\max}=2,$$ $$y_{\min}=-2,$$ поэтому

$$\Delta y=2-(-2)=4,$$

а значит,

$$a=\frac{4}{2}=2.$$

Следовательно,

$$y=2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

в) Рассмотрим график функции $$y=a\sin(x+b).$$

График симметричен относительно точки $$\left(-\frac{5\pi}{6};0\right),$$ значит,

$$b=\frac{5\pi}{6}.$$

По рисунку $$y_{\max}=1{,}5,$$ $$y_{\min}=-1{,}5,$$ поэтому

$$\Delta y=1{,}5-(-1{,}5)=3,$$

а значит,

$$a=\frac{3}{2}=1{,}5.$$

Следовательно,

$$y=1{,}5\sin\left(x+\frac{5\pi}{6}\right).$$

г) Рассмотрим график функции $$y=a\cos(x+b).$$

Вершина графика находится в точке $$\left(\frac{2\pi}{3};0\right),$$ значит,

$$b=-\frac{2\pi}{3}.$$

По рисунку $$y_{\max}=3,$$ $$y_{\min}=-3,$$ поэтому

$$\Delta y=3-(-3)=6,$$

а значит,

$$a=\frac{6}{2}=3.$$

Следовательно,

$$y=3\cos\left(x-\frac{2\pi}{3}\right).$$

Ответ

а) $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right);$$ б) $$y=2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right);$$ в) $$y=1{,}5\sin\left(x+\frac{5\pi}{6}\right);$$ г) $$y=3\cos\left(x-\frac{2\pi}{3}\right).$$