Упр.16.73(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Проверим чётность и нечётность функций по определениям:
$$f(-x)=f(x)$$ — чётная функция, $$f(-x)=-f(x)$$ — нечётная функция.
$$f_1(x)=2\sin(-x)=-2\sin x,$$ значит
$$f_1(-x)=2\sin x=-f_1(x),$$
следовательно, функция нечётная.
$$f_2(x)=\cos 2x,$$ тогда
$$f_2(-x)=\cos(-2x)=\cos 2x=f_2(x),$$
значит, функция чётная.
$$f_3(x)=x\sin x,$$ тогда
$$f_3(-x)=(-x)\sin(-x)=x\sin x=f_3(x),$$
значит, функция чётная.
$$f_4(x)=\sin(x^2+1),$$ тогда
$$f_4(-x)=\sin((-x)^2+1)=\sin(x^2+1)=f_4(x),$$
значит, функция чётная.
$$f_5(x)=\sin 0{,}25x^3,$$ тогда
$$f_5(-x)=\sin\bigl(0{,}25(-x)^3\bigr)=\sin(-0{,}25x^3)=-f_5(x),$$
значит, функция нечётная.
$$f_1(x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=-\frac{\sin x}{\cos x}=-f_1(x),$$
значит, функция нечётная.
$$f_2(x)=\cos^3(-x)-\cos^3x=\cos^3x-\cos^3x=0,$$
следовательно, функция чётная.
$$f_3(x)=-( -x)\sin(-x)=-x\sin x,$$ тогда
$$f_3(-x)=-x\sin x=f_3(x),$$
значит, функция чётная.
$$f_4(x)=\sin(x^4-1),$$ тогда
$$f_4(-x)=\sin((-x)^4-1)=\sin(x^4-1)=f_4(x),$$
значит, функция чётная.
$$f_5(x)=-x+\sin 0{,}5(-x)=-x-\sin 0{,}5x,$$
поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
$$f_1(x)=2-\frac{\cos(-x)}{\sin(-x)}=2+\frac{\cos x}{\sin x},$$
следовательно, функция ни чётная, ни нечётная.
$$f_2(x)=-x+\cos 0{,}5(-x)=-x+\cos 0{,}5x,$$
значит, функция ни чётная, ни нечётная.
$$f_3(x)=x^3+(-x)^2\sin(-x)=x^3-x^2\sin x,$$
поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
$$f_4(x)=\frac{\sin(x+2)}{2+\cos(2-x^2)},$$ тогда
$$f_4(-x)=\frac{\sin(-x+2)}{2+\cos(2-x^2)},$$
следовательно, функция ни чётная, ни нечётная.
$$f_5(x)=\frac{\sin(-x)}{x}=-\frac{\sin x}{x},$$
значит, функция чётная.
$$f_1(x)=\sqrt{3+\cos 3x},$$ тогда
$$f_1(-x)=\sqrt{3+\cos(-3x)}=\sqrt{3+\cos 3x}=f_1(x),$$
значит, функция чётная.
$$f_2(x)=2\cos\sqrt{x^2},$$ а так как $$\sqrt{x^2}=|x|,$$ то
$$f_2(-x)=2\cos\sqrt{(-x)^2}=2\cos\sqrt{x^2}=f_2(x),$$
значит, функция чётная.
$$f_3(x)=x\sqrt{1-\cos 2x},$$ тогда
$$f_3(-x)=(-x)\sqrt{1-\cos(-2x)}=-x\sqrt{1-\cos 2x}=-f_3(x),$$
значит, функция нечётная.
$$f_4(x)=\sin(-x)+\cos(-x)=-\sin x+\cos x,$$
следовательно, функция ни чётная, ни нечётная.
$$f_5(x)=\sin x\cos(-x)=\sin x\cos x,$$ тогда
$$f_5(-x)=\sin(-x)\cos x=-\sin x\cos x=-f_5(x),$$
значит, функция нечётная.
Ответ: а) $$1$$ и $$5$$ — нечётные, $$2,3,4$$ — чётные; б) $$1$$ — нечётная, $$2,3,4$$ — чётные, $$5$$ — ни чётная, ни нечётная; в) $$5$$ — чётная, $$1,2,3,4$$ — ни чётные, ни нечётные; г) $$1,2$$ — чётные, $$3$$ и $$5$$ — нечётные, $$4$$ — ни чётная, ни нечётная.
