Упр.16.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите все значения $$x$$, при которых заданному промежутку принадлежит только одно целое число; укажите это число: а) $$\left(5-2\sin x;\ 5+2\sin x\right)$$; б) $$\left[4+2\cos x;\ 4-2\cos x\right]$$.

а) Чтобы в промежутке $$\left(5-2\sin x;\,5+2\sin x\right)$$ содержалось ровно одно целое число, этим числом должна быть $$5$$. Тогда

$$0<(5+2\sin x)-(5-2\sin x)\le 2,$$

$$0<4\sin x\le 2,$$

$$0<\sin x\le \frac12.$$

Отсюда

$$0<x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n$$

или

$$\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le x<\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Значит, в промежутке лежит только число $$5$$.

б) Для промежутка $$[4+2\cos x;\,4-2\cos x]$$ единственным целым числом должна быть $$4$$. Тогда

$$0<(4-2\cos x)-(4+2\cos x)<2,$$

$$0<-4\cos x<2,$$

$$-\frac12<\cos x<0.$$

Это выполняется при

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

или

$$\frac{4\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Значит, в промежутке лежит только число $$4$$.

Ответ: а) $$5$$; $$0<x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n$$ или $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le x<\pi+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$; б) $$4$$; $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ или $$\frac{4\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.