Упр.16.67 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Для функции $$y=\frac{1}{\sin x}$$:

1. Функция нечётная, так как
   $$y(-x)=\frac{1}{\sin(-x)}=-\frac{1}{\sin x}=-y(x).$$
2. Область определения:
   $$\sin x\ne 0,\quad x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
3. На отрезке $$0<x\le \frac{\pi}{2}$$ функция $$y=\sin x$$ возрастает, а $$y=\frac{1}{\sin x}$$ убывает.
4. На отрезке $$\frac{\pi}{2}\le x<\pi$$ функция $$y=\sin x$$ убывает, а $$y=\frac{1}{\sin x}$$ возрастает.
5. На двух данных отрезках:
   $$0<\sin x\le 1,$$
   $$1\le \frac{1}{\sin x}<+\\infty.$$
6. График функции состоит из ветвей, симметричных относительно начала координат, с вертикальными асимптотами $$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

б) Для функции $$y=\frac{1}{\cos x}$$:

1. Функция чётная, так как
   $$y(-x)=\frac{1}{\cos(-x)}=\frac{1}{\cos x}=y(x).$$
2. Область определения:
   $$\cos x\ne 0,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
3. На отрезке $$0\le x<\frac{\pi}{2}$$:
   $$0<\cos x\le 1,$$
   $$1\le \frac{1}{\cos x}<+\\infty.$$
4. На отрезке $$\frac{\pi}{2}<x\le \pi$$:
   $$-1\le \cos x<0,$$
   $$-\infty<\frac{1}{\cos x}\le -1.$$
5. На двух данных отрезках:
   $$y=\cos x$$ убывает, а $$y=\frac{1}{\cos x}$$ возрастает.
6. График функции состоит из ветвей, симметричных относительно оси $$Oy$$, с вертикальными асимптотами
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$\frac{1}{\sin x}$$ — нечётная функция, $$\frac{1}{\cos x}$$ — чётная; области определения: $$x\ne \pi n$$ и $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$