Упр.16.65 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$f(x)= \begin{cases} -x^2, & x<0,\\ \sin x, & 0\le x\le \pi,\\ -(x-\pi)^2, & x>\pi. \end{cases}$$

а)

Найдём значения функции:

$$f(-3)=-(-3)^2=-9,$$

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$

$$f(2\pi-3)=-\bigl((2\pi-3)-\pi\bigr)^2=-(\pi-3)^2.$$

б)

Построим график по частям:

• при $$x<0$$ график задаётся параболой $$y=-x^2$$;
• при $$0\le x\le \pi$$ — график функции $$y=\sin x$$;
• при $$x>\pi$$ — график параболы $$y=-(x-\pi)^2$$.

Опорные точки:

$$\begin{array}{c|ccc} x & -2 & -1 & 0\\ \hline y & -4 & -1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \frac{\pi}{2} & \pi\\ \hline y & 0 & 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|ccc} x & \pi & \frac{4\pi}{3} & \frac{3\pi}{2}\\ \hline y & 0 & \approx -1 & \approx -2{,}5 \end{array}$$

в)

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty);$$
• $$E(f)=(-\infty;1];$$
• возрастает на $$(-\infty;\frac{\pi}{2}];$$
• убывает на $$[\frac{\pi}{2};+\infty);$$
• $$f(x)>0$$ на $$\left(0;\pi\right);$$
• $$f(x)<0$$ на $$(-\infty;0)\cup(\pi;+\infty);$$
• функция ни чётная, ни нечётная;
• функция не является периодической.

Ответ: $$f(-3)=-9,\quad f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\quad f(2\pi-3)=-(\pi-3)^2.$$