Упр.16.61 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть

$$f(x)= \begin{cases} \cos x, & x\le \dfrac{\pi}{2},\\ \sin x, & x>\dfrac{\pi}{2}. \end{cases}$$

В точке $$x=\dfrac{\pi}{2}$$ обе части дают одно и то же значение:

$$\cos \dfrac{\pi}{2}=0,\qquad \sin \dfrac{\pi}{2}=1.$$

Значит, график состоит из части графика $$y=\cos x$$ при $$x\le \dfrac{\pi}{2}$$ и части графика $$y=\sin x$$ при $$x>\dfrac{\pi}{2}$$.

Область определения:

$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Множество значений:

$$E(f)=[-1;1].$$

Функция возрастает на промежутках

$$[-\pi-2\pi n;\,-2\pi n]\cup\left[\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n;\,\dfrac{5\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Убывает на промежутках

$$[-2\pi-2\pi n;\,-\pi-2\pi n]\cup\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Знаки функции:

$$f(x)>0 \text{ на } \left(-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n;\,\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)\cup\left(2\pi+2\pi n;\,3\pi+2\pi n\right),$$

$$f(x)<0 \text{ на } \left(-\dfrac{3\pi}{2}-2\pi n;\,-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n\right).$$

Функция ни чётная, ни нечётная и не является периодической.

Ответ

$$D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=[-1;1].$$

Функция ни чётная, ни нечётная, не периодическая.