Упр.16.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x}, & x<0,\\ \sin x, & 0\le x\le \pi.\end{cases}$$

Ход решения

а) Найдём значения функции:

$$f(-2)=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac12=-0{,}5,$$

$$f(0)=\sin 0=0,$$

$$f(1)=\sin 1.$$

б) Построим график функции по частям.

При $$x<0$$ график задаётся функцией $$y=\dfrac{1}{x}$$ — это ветвь гиперболы.

При $$0\le x\le \pi$$ график задаётся функцией $$y=\sin x$$ — это часть синусоиды на отрезке $$[0;\pi]$$.

Опорные точки для синусоиды:

$$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 \end{array}$$

Опорные точки для гиперболы:

$$\begin{array}{c|ccc} x & -2 & -1 & -\dfrac12 \\ \hline y & -\dfrac12 & -1 & -2 \end{array}$$

в) Свойства функции:

• область определения: $$D(f)=(-\infty;\pi]$$;
• множество значений: $$E(f)=(-\infty;1]$$;
• возрастает на $$\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$$;
• убывает на $$(-\infty;0)\cup\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$$;
• $$f(x)>0$$ на $$\left(0;\pi\right)$$;
• $$f(x)<0$$ на $$(-\infty;0)$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• функция не является периодической.

Ответ

$$f(-2)=-0{,}5,\quad f(0)=0,\quad f(1)=\sin 1.$$

$$D(f)=(-\infty;\pi],\quad E(f)=(-\infty;1].$$